Нет, такого быть не может. Но что-то достаточно простого доказательства в голову не приходит. В принципе это из-за того, что 708 не делится нацело на 11.

В принципе, доказательство относительно простое.

Предположим, что стрелки заняли нужное положение в определенное время: Ч:М:С

Часовая стрелка совершает полный круг, т.е. проходит 360 градусов за 12 часов или 12*60*60=43200 секунд. Значит, ее скорость движения составляет 360/43200 = 1/120 градуса в секунду

Скорость движения минутной стрелки = 1/10 градуса в секунду
Скорость движения секундной стрелки = 6 градусов в секунду

Это значит, что угол, на котором будет располагаться та или иная стрелка можно выразить как произведение скорости стрелки на количество секунд.

Рассмотрим ситуацию, когда стрелки расположены в порядке: часовая - 120 градусов - минутная - 120 градусов - секундная

Тогда получим два уравнения:

Угол минутной стрелки - Угол часовой стрелки = 120
Угол секундной стрелки - Угол минутной стрелки = 120

Поскольку после каждого полного оборота секундной или минутной стрелки значение угла для них будет сбрасываться в 0, то при записи в числовом выражении для угла минутной стрелки надо исключить количество часов, а для угла секундной стрелки - и количество часов и количество минут.

Тогда в числовом выражении получим следующую систему уравнений.

1/10*(60М+С) - 1/120*(3600Ч+60М+С) = 120
6С - 1/10(60М+С) = 120

Решая эту систему уравнения получим

С = (460+60Ч) / 11 = 20 * (23+3Ч) / 11

Поскольку стрелки движутся дискретно, то значение секунд не может быть дробным числом. Только целым. Это выполняется при условии, что выражение 3Ч+1 кратно 11. Поскольку значение Ч меняется в диапазоне от 0 до 11, то единственным решением остается

Ч = 7

Тогда

С = 80

Но этого не может быть, поскольку значение С не может превышать 59. Другими словами - решения в данных условиях нет.


Если предположить, что циферблат 24 часовой, то после аналогичных преобразований получим

С = (940+60Ч) / 23 = 20 * (47+3Ч) / 23

В этом случае, значение секунд не получится целым ни при каких значениях часа в диапазоне от 0 до 23. То же 3Ч+1 должно быть кратно 23, что не выполняется в указанном диапазоне значений.

Разумеется, стрелки могут располагаться не только в последовательности Часовая - Минутная - Секундная. Возможны следующие варианты расположения

Ч - М - С
М - С - Ч
С - Ч - М
Ч - С - М
С - М - Ч
М - Ч - С

Но фактически, это не 6 вариантов расположения, а 2. Если посмотреть внимательнее, то первые три варианта - это одно и то же, просто все зависит от того, какую стрелку считать первой. Аналогично - последние три варианта.

Т.е. надо решить аналогичные системы уравнений для еще одного положения стрелок

Ч - С - М

Все желающие могут повторить предыдущие рассуждения для данного варианта, но решения опять же нет.

Ну, примерно это я и называл недостаточно простым. А вообще интересно, оказывается, что если часовая и минутная стрелки составляют 120 градусов, то секундная стрелка всегда в точности совпадает с минутной.

Задача, конечно, классическая, и я даже когда-то читал её решение. Но можно и попридираться: надо бы уточнить о каких часах идет речь, с каким механизмом поворота стрелок. Например, сейчас есть такие часы со стрелками, где секундная не скачет, а плавно ползет, частота дискретизации там очень большая (если там вообще может идти речь о дискретизации и не применяются какие-нибудь ролики для передачи вращения). Для таких часов решение наверняка найдется.

Если речь о классических механических часах, то можно представить себе такую модель: на каждое положение секундной стрелки изменяется положение минутной и часовой. При этом:
- секундная стрелка имеет точность позиционирования 1/60 на круг;
- минутная - 1/3600 (60 минут Х 60 секунд);
- часовая - 1/43200 (12 Х 60 Х 60).

На первой секунде часовая стрелка пройдет 1 долю, минутная - 12, секундная - 720. Разницы составят соответственно 11, 708 и 719 долей. На второй 2, 24, 1440, разницы 22, 1416, 1438 и т.д. На n-й секунде:

Учм = n*11 - угол между часовой и минутной, в долях
Умс = n*708 - угол между минутной и секундной, в долях
Учс = n*719 - угол между часовой и секундной, в долях

Чтобы выполнилось условие, необходимо чтобы разницы (углы между стрелками в долях) были кратны 14400:

n * 11 = 14400 * m, и
n * 708 = 14400 * k, и
n * 719 = 14400 * l

где n входит в [1..43200] и m, k, l - целое, < n.

n = (14400/11)*m = (14400/708)*k = (14400/719)*l
сокращаем (11, 59 и 719 - простые числа)
n = (14400/11)*m = (1200/59)*k = (14400/719)*l

так как n целое, то
m кратно 11
k кратно 59
l кратно 719

В свою очередь n должно быть кратно 14400. Таких положений всего 3
n = 14400 (04:00:00)
n = 28800 (08:00:00)
n = 43200 (12:00:00)

Ни одно из них не удовлетворяет полному условию.

Опоздал малёха.



Исправлено 1 раз(а). Последнее : Prudivus, 18.05.07 13:36

Salut! C'est encore moi!

Давайте откажемся от дискретности движения стрелок! Угловая скорость всех стрелок постоянна, но двигаются они не прыжками, а плавно, равномерно-распределенно.

Как? А вот как!

Например, ось секундной стрелки сажаем на моторчик со стабильной частотой вращения, берем две предаточные пары (ременные! - без проскальзывания!)) с коэффициентами, рассчитанными Максимовым - вот и нет дискретности!
Думаем дальше!

А о чем дальше думать-то? Формулы уже есть. Осталось только подставить значения часа от 0 до 12 и убедится, что значение минут и секунд окажутся в диапазоне от 0 до 60.

Для варианта расположения стрелок Ч - М - С

М = (697+177Ч) / 33
С = (460+60Ч) / 11


0 : 21,(12) : 41,(81)
1 : 26,(48) : 47,(27)
2 : 31,(84) : 52,(72)
3 : 37,(21) : 58,(18)
4 : 42,(57) : 63,(63) - недопустимое значение секунд

Для значений часа больше или равным 4 при расположении стрелок Ч-М-С корректного значения нет. Остается попробовать другие расположения стрелок и аналогичные формулы.

==============

Да, забыл добавить. Поскольку значение минут также не может быть дробным числом, то и это тоже не является решением. Значение и часа и минуты обязательно должно быть целым числом.

Т.е., в общем случае, решения все-равно нет, даже если количество секунд - не обязательно целое число.



Исправлено 2 раз(а). Последнее : Владимир Максимов, 18.05.07 15:59

Владимир Максимов
Да, забыл добавить. Поскольку значение минут также не может быть дробным числом, то и это тоже не является решением. Значение и часа и минуты обязательно должно быть целым числом.

Т.е., в общем случае, решения все-равно нет, даже если количество секунд - не обязательно целое число.

Да, совсем не требуется , чтобы часы, минуты и секунды были целыми, задача скорее всего геометрическая. Наоборот, если решение все-таки имеется, то скорей всего при дробных значениях вышеназванных.

Hi mayil!

Не могут стрелки так стоять.

Период через который часовая и минутная стрелки образуют угол КРАТНЫЙ 120 градусам (это может быть и 0 градусов!) составляет (14400/11) секунды. Период через который минутная и секундная стрелки образуют угол КРАТНЫЙ 120 градусам составляет (1200/59 = 14400/708) секунды. За начальный момент времени примем 0:00:00-в этот момент все 3 стрелки совпадают (т.е. угол между минутной и часовой и между минутной и секундной = 0 и соответственно это кратно 120 градусам). Найдём для начала в какие моменты времени снова будет выполняться условие КРАТНОСТИ угла между стрелками 120 градусам (это может быть и неприемлемое решение - это мы проверим отдельно). Как легко заметить из указанных выше периодов, такие моменты времени наступают с периодичностью в 14400 секунды или 4 часа (т.к. 708 и 11 не имеют общих делителей кроме 1 - кажется это называется взаимно простые числа). При этом угол между часовой и минутной стрелками составит -120 градусов (или 240 - кому как удобнее считать), а между минутной и секундной - 0 градусов (они совпадут). Таким образом мы определили, что в единственный момент времени когда выполняется более обще условие кратности углов между стрелками 120 градусам не выполняется частное условие не совпадения стрелок (т.е. попарного неравенства углов).
Для более строгих расчётов я использовал формулы, дающие для каждого момента времени угол (в градусах) между заданной стрелкой и направлением на 0 часов.
alpha = (T/120)%360 - часовая
beta = (T/10)%360 - минутная
gamma = (T*6)%360 - секундная
(значение угла можно и не приводить к стандартному виду, но тогда нужно помнить про периодичность в 360 градусов)

Hi All!

Как всегда опоздал

Hi All!

А впрочем видимо и не совсем опоздал Ибо есть изъяны в прочих рассуждениях, особенно про то что углы обязательно должны быть целыми...

А решения всё же нету!

P.S. Prudivus даёт практически то-же самое решение, только на самом деле не обязательно рассматривать соотношения между всеми тремя стрелками до самого последнего момента - достаточно только 2 "пары" рассмотреть, а уж получив это решение (14400 секунд) определить что оно не подходит по причине совпадения минутной и секундной стрелки.

2 leonid

Цитата:

оказывается, что если часовая и минутная стрелки составляют 120 градусов, то секундная стрелка всегда в точности совпадает с минутной

Вовсе нет В интервале от 0 до 12 часов 33 раза минутная и часовая составляют угол кратный 120 градусам (из них 11 раз угол составляет 0), при этом лишь в 3 случаях (0, 4 и 8 часов) угол между минутной и секундной = 0 - во всех прочих случаях угол просто не кратен 120 градусам.

А вот и "визуализация"
33 элемент это уже "полный оборот" т.е. он идентичен нулевому.

Все закрыли задачу о стрелках.

Потрудились на славу, до мелочей добрались. Спасибо сообществу лисолюбов.

Трогаемся дальше. Задача № 18

Доказать, что сумма
S = 1! + 2! + 3! + 4! + 5! + . . . . . + n!
Ни при каких n > 3 не может быть полным квадратом.
Кто знает, может применить метод математической индукции.
Удачи!

mayil

Владимир Максимов
Да, забыл добавить. Поскольку значение минут также не может быть дробным числом, то и это тоже не является решением. Значение и часа и минуты обязательно должно быть целым числом.

Т.е., в общем случае, решения все-равно нет, даже если количество секунд - не обязательно целое число.

Да, совсем не требуется , чтобы часы, минуты и секунды были целыми, задача скорее всего геометрическая. Наоборот, если решение все-таки имеется, то скорей всего при дробных значениях вышеназванных.

Как раз требуется, и именно требуется, чтобы часы и минуты были целым числом. Дело в том, что доли часа (дробная часть) - это минуты, а доли минуты - это секунды.

Это значит, что ни при каких условиях, часы и минуты просто не могут иметь дробное значение. Все дробные части должны "спустится" на уровень ниже. К следующей единице измерения. Вот секунды - пожалуйста. У них ведь нет "уровня ниже". Собственно, довольно часто секунды и отображают с долями.

Но, при целом значении часа, целое значение минуты - не получается...

Igor Korolyov
2 leonid

Цитата:

оказывается, что если часовая и минутная стрелки составляют 120 градусов, то секундная стрелка всегда в точности совпадает с минутной

Вовсе нет В интервале от 0 до 12 часов 33 раза минутная и часовая составляют угол кратный 120 градусам (из них 11 раз угол составляет 0), при этом лишь в 3 случаях (0, 4 и 8 часов) угол между минутной и секундной = 0 - во всех прочих случаях угол просто не кратен 120 градусам.

Действительно, в арифметике ошибся. Я решал эту задачу так. Представим, что кроме стрелок вращается также циферблат часов, причем с такой скоростью, что часовая стрелка относительно циферблата все время стоит на месте. Тогда минутная стрелка за 12 часов сделает 11 оборотов относительно циферблата, а секундная - 719 оборотов. Нас интересуют моменты времени, когда минутная стрелка проходит относительно циферблата n/3 оборотов, где n от 0 до 32. Поскольку секундная стрелка движется в 719/11 раз быстрее минутной, то она пройдет (719/33)*n оборота, или, если отбросить целое число оборотов - (26/33)*n оборотов. Кратно n/3 это может быть только если n кратно 11, т.е. при n=11 или при n=22. Но легко проверить, что именно в этих двух случаях минутная и секундная стрелки совпадут. При n=11 они обе будут показывать на 8 часов на циферблате, а при n=22 - на 4 часа.



Исправлено 1 раз(а). Последнее : leonid, 20.05.07 10:49

mayil
Задача № 18
Доказать, что сумма
S = 1! + 2! + 3! + 4! + 5! + . . . . . + n!
Ни при каких n > 3 не может быть полным квадратом.
Кто знает, может применить метод математической индукции.
Удачи!

Что такое полный квадрат? Квадрат натурального числа?



Исправлено 1 раз(а). Последнее : Prudivus, 21.05.07 16:14

S(n) = S(n-1) + n!
...
S(3)=9
S(4)=33
S(5)=33+120=153
S(6)=153+720=873
S(7)=873+5040=5913
...
S(n)= (число, заканчивающееся на 3) + (число, заканчивающееся на 0) = (число, заканчивающееся на 3)

(число, заканчивающееся на 3) не может быть квадратом целого числа.



Исправлено 1 раз(а). Последнее : Prudivus, 21.05.07 16:55

Bravo? Prudivus!

Топаем далее!
Задача № 19

Встретились два математика. Разговор, который я подслушал, был о детях.
« У меня три сына - сказал первый математик. Произведение их возрастов равно 36, а сумма их возрастов равна ......... ». Тут прогромыхал трамвай и заглушил последние слова говорящего, так что подслушать второе число мне не удалось. Второй собеседник подумал немного и сказал: «Этих двух чисел недостаточно, добавь ещё что-нибудь». На это первый ответил: «Хорошо, добавлю: младший сын рыжий».
«Это другое дело!» - воскликнул второй и тут же назвал воз-раст детей. Сколько лет было детям?

mayil
Bravo? Prudivus!
Топаем далее!
Задача № 19

Встретились два математика. Разговор, который я подслушал, был о детях.
« У меня три сына - сказал первый математик. Произведение их возрастов равно 36, а сумма их возрастов равна ......... ». Тут прогромыхал трамвай и заглушил последние слова говорящего, так что подслушать второе число мне не удалось. Второй собеседник подумал немного и сказал: «Этих двух чисел недостаточно, добавь ещё что-нибудь». На это первый ответил: «Хорошо, добавлю: младший сын рыжий».
«Это другое дело!» - воскликнул второй и тут же назвал воз-раст детей. Сколько лет было детям?

Только две комбтнации дают одну и ту же сумму
2,2,9
1,6,6

Если имеется старший сын, то выбираем 2,2,9

В приложение кладу похожую задачу.



Исправлено 1 раз(а). Последнее : rubinov, 21.05.07 23:52

Цитата:

..задача скорее всего геометрическая. Наоборот, если решение все-таки имеется, то скорей всего при дробных значениях вышеназванных.

До дробей как раз дело не дойдет. Геометрически тож все как раз наглядно получается. Но так как форум наш всетаки специфический, то вот мой вариант решения на фоксе
Пояснение:
1. цикл взял до 43200 так как берем только 12 часов в секундах
2. так как делений на циферблате 60 то часовую стрелку мона передвигать 60 раз

судя из условия младший сын один, следовательно возраст детей
1,6,6
или 1,2,18

да еще может быть:
1,4,9
1,3,12
2,3,6

можно так:




Исправлено 3 раз(а). Последнее : BSA, 22.05.07 09:27

Rubinov, Bravo!

Если рыжим является младший то - 1, 6, 6
Если же рыжим является старший то - 2, 2, 9

Мистер BSA, помните при числе 36(это произведение возрастов 3-х детей) второй посетовал на недостаточноять информации, т.е. он "напоролся" на число 13 . Потому и попросил дополнительную информацию.