Ну вы блин даете.

Интегралами еще бы порешали.

Задача-то для 3!-го-го-го-го класса!

Но блин все настолько внимательны при чтении условия.

Перечитайте:

Цитата:

Они ели по очереди, и каждый из них ел столько времени, понадобилось бы трем другим едокам, чтобы, работая вместе, съесть половину торта

Перечитайте. Перечитайте. И еще раз перечитайте: КАЖДЫЙ!
Что думаю вполне однозначно говорит, что скорость поедания у всех ОДИНАКОВА.
Доказательства?
Элементарная логика. Если бы хоть один ел быстрее, то при перемещении это скоростного едока либо в тройку совместно поедающих, либо в одиночное поедание - уравнения бы нарушились.
Желающие могут взять ручку и проверить на бумаге.
А раз скорость ОДИНАКОВА, то мои приведенные выше рассуждения, которые постарался максимально подогнать под рассуждения школьника, вполне все и объясняют.
Т.е., ответ, который сходу дал в самом начале Mitchman т является единственно правильным - как с точки зрения житейской логики, так и подтверждается АРИФМЕТИЧЕСКИМИ рассуждениями.

Igor Korolyov

V1*T1+V2*T2+V3*T3+V4*T4=1
(V2+V3+V4)*T1=0.5
(V1+V3+V4)*T2=0.5
(V1+V2+V4)*T3=0.5
(V1+V2+V3)*T4=0.5

Игорь, если из последних четырех уравнений выразить Ti и подставить в первое, то и получим одно уравнение с четырьмя неизвестными. Правда, поскольку оно нелинейное, то линейное программирование тут не поможет. Если предположить V1=V2 и V3=V4=1, то оно сводится к линейному с единственным решением V1=V2=0, которое, по понятным причинам не подходит. А вот если взять какое-нибудь другое соотношение, например V2=2, V3=V4=1, или V1=V2*2, V3=V4=1, то получается кубическое уравнение, а с ними разбираться муторно.

Леонид, это понятно, меня заинтересовал поиск именно "наиболее" справедливого решения - т.е. если упорядочить скорости по V1>=V2>=V3>=V4 то найти решение с Min(V1-V4)... Пытался перейти к "равномерно увеличивающейся" через V2=V1+A, V3=V1+2A V4=V1+3A - с минимизацией A, как-то не очень выходит - всё одно трёхэтажные дроби и в итоге кубические уравнения

2 Crispy

И несмотря на простоту основной задачи, и расписанной "на пальцах" (безо всяких уравнений) схемы "поедания", из которой вытекает единственно верный ответ 3 - кое кто продолжает упорствовать в своих заблуждениях
Ещё раз - задача НЕ ИМЕЕТ РЕШЕНИЯ при "одинаковой" скорости у всех 4-х едоков. Т.к. при таких условиях (равные скорости -> равное время для каждого -> равный съеденный объём), они съедают ровно 4/6 торта и ни крошкой больше. Что, естественно, противоречит условию "полного поедания".
Я лишь формально описал условия задачи - для "неверующих" и "упорствующих". Подставив в неё решение Леонида, можно совершенно точно удостоверится в его верности, и заодно получить "ответ в числах" на детский вопрос "во сколько раз быстрее".

P.S. Великая теорема Ферма, кстати, произошла по сути из банальнейшей теоремы Пифагора, известной каждому школьнику - тем не менее на её доказательство потребовалось 300 лет Вот такие вот "детские шалости"

P.P.S. Акцентирую внимание на фразу в условии, которую видимо многие не поняли.

каждый из них ел столько времени, сколько понадобилось бы трем другим едокам, чтобы, работая вместе, съесть половину торта.
Естественно что время "совместного употребления" 1, 2 и 3-м отличается от времени 2,3 и 4-го! Но тем не менее ОБЩИЕ ограничения вполне себе удовлетворяются.





Исправлено 1 раз(а). Последнее : Igor Korolyov, 13.05.10 18:47

Igor Korolyov
И несмотря на простоту основной задачи, и расписанной "на пальцах" (безо всяких уравнений) схемы "поедания", из которой вытекает единственно верный ответ 3 - кое кто продолжает упорствовать в своих заблуждениях Ещё раз - задача НЕ ИМЕЕТ РЕШЕНИЯ при "одинаковой" скорости у всех 4-х едоков. Т.к. при таких условиях (равные скорости -> равное время для каждого -> равный съеденный объём), они съедают ровно 4/6 торта и ни крошкой больше.

И все-таки она вертится!
Читаем опять:

Цитата:

A, B, C, D съели торт. Они ели по очереди, и каждый из них ел столько времени, понадобилось бы трем другим едокам, чтобы, работая вместе, съесть половину торта. Во сколько раз быстрее они съели бы торт, если бы ели его не по очереди, а все вместе?

Т.е. (обращаю еще раз внимание!):
в условии ничего(!) не говорится про ограничение по времени на поедание! ;)
Следовательно с чего бы им останавливаться-то на ровно 4/6 торта и ни крошкой больше?!
Наоборот сказано - на этот раз они будут есть уже все вместе.
И никого не интересует вопрос: так сколько же времени они ели, когда ели по очереди. Ничуть!
Интересует лишь другой вопрос:
"Во сколько раз быстрее они съели бы торт, если бы ели его не по очереди, а все вместе?"
А предыдущее, что написано в условии (ели по очереди) - используется всего лишь для создания соотношения. После чего и следует вопрос - если бы ели его не по очереди, а все вместе.
Короче сидя за большим столом и одновременно уплетая за обе щеки без ограничения времени.
Разве не так?





Исправлено 4 раз(а). Последнее : Crispy, 13.05.10 21:18

Видимо, разногласия просиходят по причине разночтения одного и того же условия задачи.

"A, B, C, D съели торт. Они ели по очереди..."
Где здесь сказано, что они съели его за 1 подход? Где здесь сказано, что каждый подходил к торту только 1 раз? Где здесь сказано, что все едоки подходили к торту одинаковое количество раз?

"Они ели по очереди, и каждый из них ел столько времени..."
Сторонники ответа "3", возможно, считают, что это общее время поедания торта одним едоком за все N подходов до исчезновения последней крошки. Хотя при указанных далее в задаче цифрах получается, что это время не может быть одинаковым для каждого едока. Отсюда делается заключение о разной скорости поедания и переход к системе уравнений, не имеющей простого решения. Тогда вместо этого вводится некая средняя скорость (назовем ее V1) поедания на едока (не имеющая на самом деле физического смысла) и выводится соотношение, по которому за время, когда 4 едока съедают 1 торт (V1=1/4 торта в единицу времени), 3 остальных едока съедают 2 торта (V2=2/3 торта в ту же единицу времени). Видимо, поедая торт вместе с другими, едоки быстрее работают ртом, чтобы больше съесть

"Они ели по очереди, и каждый из них ел столько времени..."
Если же принять, что этом условии говорится о времени "работы" едока на каждом отдельном подходе к торту (N>=1), то простым образом получаем ответ "4". Разумеется, при условии одинаковой скорости поедания для всех (не забываем: 3-й класс!)

"каждый из них ел столько времени, понадобилось бы трем другим едокам, чтобы, работая вместе, съесть половину торта"
Здесь однозначно видно, что за единицу времени (за 1 подход) каждый едок может съесть 1/6 торта (если еще что-то осталось )

За один последовательный подход каждого едока (это 4 единицы времени) съедается 4/6 торта (скорость - 1/6 торта в ед. времени), за это же время остальные 3 едока съедают 2 торта (совместная скорость для 4 едоков = 2 торта + 4/6 торта разделить все на 4 ед. времени = 4/6 торта в единицу времени). Разница в 4 раза. (Здесь умышленно использован вариант решения, по которому каким-то образом был выведен ответ "3". Более простые решения даны на первой странице темы).

Если так уж режет глаза сочетание "съели торт", то добавляем 2 недостающие для его полного поедания единицы времени и получаем: 1 торт за 6 единиц времени по очереди, и 3 торта за тех же 6 единиц у трех других "совместных" едоков. В итоге снова скорости поедания составляют соответственно 1/6 торта и (3+1)/6 = 4/6 торта в единицу времени. Опять разница в 4 раза. И как здесь можно вывести цифру 3?

p.s. Не получилось объяснить на уровне третьего класса, лучше вышло у Mitchmana и Crispy.

ry
Видимо, разногласия просиходят по причине разночтения одного и того же условия задачи.

Я ума не приложу, откуда могут возникнуть "разночтения" во вполне простых предложениях написанных русским языком

ry
"A, B, C, D съели торт. Они ели по очереди..." Где здесь сказано, что они съели его за 1 подход? Где здесь сказано, что каждый подходил к торту только 1 раз? Где здесь сказано, что все едоки подходили к торту одинаковое количество раз?

Совершенно верно - этого не сказано, более того, от этого ВООБЩЕ никак не зависит ответ. Первый "едок" мог подходить к торту 100 раз, а остальные всего по одному - или наоборот - результат НИКАК не изменится.

ry
"Они ели по очереди, и каждый из них ел столько времени..." Сторонники ответа "3", возможно, считают, что это общее время поедания торта одним едоком за все N подходов до исчезновения последней крошки. Хотя при указанных далее в задаче цифрах получается, что это время не может быть одинаковым для каждого едока.

Именно так оно и есть. Для КАЖДОГО едока это время может быть различно (по факту оно и бдует различно - как минимум для одного едока будет отличатся от всех других, если взять решение Леонида).

ry
Отсюда делается заключение о разной скорости поедания и переход к системе уравнений, не имеющей простого решения.

Не отсюда - не из этой фразы, а из ВСЕХ условий задачи. ЭТО условие не запрещает "равенства". Вот только почему для некоторых "не запрещает равенство" стало "они равны" - это для меня загадка. Дело в том, что последующие условия приводят к тому, что скорость поедания, а следовательно и время всё-же не может быть равным...

ry
Тогда вместо этого вводится некая средняя скорость (назовем ее V1) поедания на едока

Не на абстрактного едока! Есть 4 скорости для КАЖДОГО едока своя! Да, мы неявно предполагаем, что каждый едок есть с одной и той-же скоростью - независимо от того один он кушает или в компании - иначе мы в принципе не сможем решить задачу (ну точнее под абсолютно любое решение можно будет подогнать базу "а вместе они из-за жадности едят в 50 раз быстрее чем по отдельности"...

ry
(не имеющая на самом деле физического смысла)

Т.е. если у тебя есть печка, потребляющая в среднем 10кг дров в час - это "не имеет смысла" Скорость имеет "физический смысл" независимо от того скорость это автомобиля, или скорость поедания торта

ry
и выводится соотношение, по которому за время, когда 4 едока съедают 1 торт (V1=1/4 торта в единицу времени), 3 остальных едока съедают 2 торта (V2=2/3 торта в ту же единицу времени).

Вот абсолютно неверный вывод. НЕТ там "1/4 торта в единицу времени"! Это ты уже придумал, и это НЕВЕРНЫЙ вывод. Из суммы 4-х РАЗНЫХ чисел никак не вытекает "1/4 в единицу"! Равно как и "2/3 в ту-же единицу"...

ry
"Они ели по очереди, и каждый из них ел столько времени..." Если же принять, что этом условии говорится о времени "работы" едока на каждом отдельном подходе к торту (N>=1), то простым образом получаем ответ "4".

1) Не надо придумывать - НЕТ там про подходы, там про ОБЩЕЕ время затраченное каждым едоком. 2) Кроме того, если считать именно так как ты предложил - что это "время одного подхода" - то в итоге мы опять таки получаем не 4, а АБСОЛЮТНО произвольное число! В зависимости от "числа подходов" это может быть и 100 и 1000

ry
"каждый из них ел столько времени, понадобилось бы трем другим едокам, чтобы, работая вместе, съесть половину торта" Здесь однозначно видно, что за единицу времени (за 1 подход) каждый едок может съесть 1/6 торта (если еще что-то осталось )

Опять абсолютно неверный вывод. Он справедлив ТОЛЬКО в том случае если все едоки едят с одной и той-же скоростью. А это, как мы уже выяснили выше, есть совершенно необоснованное предположение, взятое "с потолка". При том ИМЕННО по той причине что в этом случае выходит скорость поедания = 1/6 торта в единицу времени (единица - общее время последовательного поедания) и получается что данно предположение ошибочно - т.к. из начального условия "съели всё" мы получаем скорость 1/4 торта в единицу времени - явное противоречие.

ry
За один последовательный подход каждого едока (это 4 единицы времени) съедается 4/6 торта (скорость - 1/6 торта в ед. времени), за это же время остальные 3 едока съедают 2 торта (совместная скорость для 4 едоков = 2 торта + 4/6 торта разделить все на 4 ед. времени = 4/6 торта в единицу времени). Разница в 4 раза.

Совершенно верно. И при этом мы ЯВНО нарушили первое условие задачи - не съели торт целиком!

ry
Если так уж режет глаза сочетание "съели торт", то добавляем 2 недостающие для его полного поедания единицы времени и получаем: 1 торт за 6 единиц времени по очереди, и 3 торта за тех же 6 единиц у трех других "совместных" едоков. В итоге снова скорости поедания составляют соответственно 1/6 торта и (3+1)/6 = 4/6 торта в единицу времени. Опять разница в 4 раза.

И СНОВА ошибка - теперь мы явно нарушаем второе условие. Согласно которому КАЖДЫЙ едок ел столько времени, за сколько 3-е других поедают половину. У тебя же выходит что едок 1 за свои "2 подхода" съел 2/6 торта, а "остальные" за это время съели целый торт - нарушение! Аналогично для едока 2, у которого тоже 2 подхода тогда должно быть.

ry
И как здесь можно вывести цифру 3?

Очень просто. Просто попытаться выполнить ВСЕ услогвия задачи, и не "додумывать" того, чего в условии нету.

Для наглядности вот решение Леонида "в числах" (округления до 5-ти знаков после запятой):
"Скорости" поедания (тортов в час) для каждого едока:
V1 = 2+SQRT(7)=4.64575
V2 = 1
V3 = 1
V4 = 1
Время (в часах) затрачиваемое на поедание половины торта каждой тройкой (оно же по условию есть время затрачиваемой "оставшимся" едоком на поедание основного, "последовательного" торта):
2+3+4) T1=0.5/(1+1+1)=1/6=0.16667
1+3+4) T2=0.5/(2+SQRT(7)+1+1)=0.07524
1+2+4) T3=0.5/(2+SQRT(7)+1+1)=0.07524
1+2+3) T4=0.5/(2+SQRT(7)+1+1)=0.07524
Время затраченное на "последовательное" поедание одного торта (расчёт без округления "промежуточных" результатов):
TS=T1+T2+T3+T4=0.16667+0.07524+0.07524+0.07524=0.39237
Время затраченное на "совместное" поедание одного торта:
TP=1/(V1+V2+V3+V4)=1/(4.64575+1+1+1)=0.13079
Во сколько раз быстрее совместное поедание по сравнению с последовательным:
TS/TP=0.39237/0.13079=3
Заметь - НИКАКИХ взятых с потолка "числа подходов" не нужно - т.к. совершенно без разницы как потратил свои 10 минут первый едок - за один присест, или за 10 подходов по 1 минуте...
Если ты сможешь предоставить своё решение удовлетворяющее ВСЕМ условиям задачи (не "додумывая" о том что это они время на 1 подход, или на 1 укус имели в виду или что не нужно целиком торт было есть) из которого будет следовать ответ 4 - то вперёд - покажи народу

Igor Korolyov
Не надо придумывать - НЕТ там про подходы, там про ОБЩЕЕ время затраченное каждым едоком.

Цитата:

Они ели по очереди, и каждый из них ел столько времени, понадобилось бы трем другим едокам, чтобы, работая вместе, съесть половину торта

НЕТ здесь ни слова об ОБЩЕМ времени. Это ли не додумывание условий?

Igor Korolyov
Кроме того, если считать именно так как ты предложил - что это "время одного подхода" - то в итоге мы опять таки получаем не 4, а АБСОЛЮТНО произвольное число! В зависимости от "числа подходов" это может быть и 100 и 1000

Полностью согласен. В общем случае число подходов может быть произвольным. Но оно ограничено фактом съедания торта. И разница в скорости 4 раза будет сохраняться при любом количестве подходов.
Изменим, к примеру, условие. Пусть каждый едок по очереди ест в течении времени, за которое 3 остальных едока съедят лишь 1/24 торта (можно брать любое число). Тогда при условии РАВЕНСТВА СКОРОСТИ и, соответственно, РАВЕНСТВА ВРЕМЕНИ КАЖДОГО ПОДХОДА (я об этом говорил в прошлом посте) один едок за 1 подход съест в 3 раза меньше, т.е. 1/72 торта. Соответственно, выполнив 72 поочередных подхода, 4 едока поглотят торт полностью. Скорость составит 1 торт за 72 единицы времени. Поедая торт одновременно с той же постоянной скоростью, 4 едока проглотят его за 4*1/72, т.е. в 4 раза быстрее, и это не зависит ни от количества подходов, ни от времени, выделяемому каждому едоку.
В принципе, 4-х последовательных едоков можно вполне заменить одним. С тем же результатом. Как правильно заметил Mitchman, задача сводится к простому "во сколько раз 4 едока съедят торт быстрее, чем 1 едок".

Igor Korolyov

ry
"каждый из них ел столько времени, понадобилось бы трем другим едокам, чтобы, работая вместе, съесть половину торта" Здесь однозначно видно, что за единицу времени (за 1 подход) каждый едок может съесть 1/6 торта (если еще что-то осталось

Опять абсолютно неверный вывод. Он справедлив ТОЛЬКО в том случае если все едоки едят с одной и той-же скоростью. А это, как мы уже выяснили выше, есть совершенно необоснованное предположение, взятое "с потолка".

Да, я указывал, что постоянная скорость - это допущение. Считаю его вполне обоснованным, т.к. речь о задаче для 3-го класса, когда дети только-только начинают учить дроби. И еще не способны выводить сложные пропорции с неравными скоростями поедания.

Igor Korolyov
При том ИМЕННО по той причине что в этом случае выходит скорость поедания = 1/6 торта в единицу времени (единица - общее время последовательного поедания) и получается что данно предположение ошибочно - т.к. из начального условия "съели всё" мы получаем скорость 1/4 торта в единицу времени - явное противоречие.

Опять же... Где в словах "съели всё" сказано, что съели за один-единственный подход? Вот это как раз домысливание, и оно ведет к парадоксу 1/6=1/4. Просто берутся разные единицы времени.

Вот об этом разночтении я говорил. Каждый понял условие по-разному.

1 вариант условия.
A, B, C, D съели торт. Они ели по очереди с одинаковой и постоянной скоростью, подходя к торту один за одним нужное количество раз, пока не съели весь торт. При каждом подходе каждый из них ел столько времени, сколько понадобилось бы трем другим едокам, чтобы, работая вместе, съесть половину торта. Во сколько раз быстрее они съели бы торт, если бы ели его не по очереди, а все вместе с той же скоростью?

Решение (от Cryspy)

Если за какое-то время 3 человека съедают 1/2 торта, значит каждый съедает 1/2 : 3 = 1/6 торта.
И если они все и всегда едят с одинаковой скоростью (гусеницы блин какие-то ), то значит каждый из них съедает по своей очереди - 1/6 торта.
Т.е. если предположить, что очередь у них строго циклическая (ну это уже роботы практически ), то список поедания выглядит так:
A - 1/6
B - 1/6
C - 1/6
D - 1/6
A - 1/6
B - 1/6.
При этом A и B явно всех накололи.
Теперь, если начинают есть все вместе, то за один шаг цикла они съедят:
1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 2/3 торта, и оставшуюся 1/3 в 2 раза быстрее.
Т.е., если принять время предыдущего съедания за 1, то новое время получается
1/6 + 1/6 : 2 = 1/6 + 1/12 = 3/12 = 1/4
Получается в 4 раза.

Ответ: в 4 раза.

2 вариант условия.
A, B, C, D съели торт. Они ели по очереди с разной скоростью и съели торт, подойдя к нему лишь по одному разу, и каждый из них ел столько времени, сколько понадобилось бы трем другим едокам, чтобы, работая вместе и с неизменной для каждого отдельного едока скоростью, съесть половину торта. Во сколько раз быстрее они съели бы торт, если бы ели его не по очереди, а все вместе?

Решение (leonid + Igor Korolyov)

"Скорости" поедания (тортов в час) для каждого едока:
V1 = 2+SQRT(7)=4.64575
V2 = 1
V3 = 1
V4 = 1
Время (в часах) затрачиваемое на поедание половины торта каждой тройкой (оно же по условию есть время затрачиваемой "оставшимся" едоком на поедание основного, "последовательного" торта):
2+3+4) T1=0.5/(1+1+1)=1/6=0.16667
1+3+4) T2=0.5/(2+SQRT(7)+1+1)=0.07524
1+2+4) T3=0.5/(2+SQRT(7)+1+1)=0.07524
1+2+3) T4=0.5/(2+SQRT(7)+1+1)=0.07524
Время затраченное на "последовательное" поедание одного торта (расчёт без округления "промежуточных" результатов):
TS=T1+T2+T3+T4=0.16667+0.07524+0.07524+0.07524=0.39237
Время затраченное на "совместное" поедание одного торта:
TP=1/(V1+V2+V3+V4)=1/(4.64575+1+1+1)=0.13079
Во сколько раз быстрее совместное поедание по сравнению с последовательным:
TS/TP=0.39237/0.13079=3

Ответ: в 3 раза.

Вопрос: в каком варианте дано условие и приведено решение тестовой задачи для 3-го класса?



Исправлено 1 раз(а). Последнее : ry, 14.05.10 17:12

1) Я сдаюсь. Когда оппонент не видит очевидного, нет смысла продолжать спор.
2) "с одинаковой и постоянной скоростью... При каждом подходе каждый из них ел столько времени...". Естественно, это задаёт АБСОЛЮТНО другую задачу, не имеющею никакого отношения к изначальной. Давай ещё решим задачу где 2 чувака ели торт, и за время пока первый съел половину, второй тоже мог бы съесть половину - получим ответ "в 2 раза" и будем его считать правильным - какая разница то
Более того, задав условие "с одинаковой скоростью", можно свободно выкинуть все прочие условия и ограничения - т.к. тогда ответ будет "во столько раз быстрее, сколько человек участвует в поедании". Даже если ухитриться другими условиями свести начальное поедание к схеме когда первый кушает 57 минут, а 3-е других всего по 1 минуте Равная скорость - равное "ускорение поедания" от числа едоков.
3) "с разной скоростью и съели торт, подойдя к нему лишь по одному разу..."
Этого нет в начальном условии, и этого НЕ требуется для решения задачи правильным образом. Абсолютно! Точно так-же как уточнений "ели ртом", "ели внутрь себя", "время течёт равномерно", "торт не испаряется со временем", "чуваки не едят друг друга" и всякой прочей ереси. Более того - первое "ограничение" просто является следствием решения (при других условиях, например если бы "за время еды каждого, трое других съедают 3/4 торта" оно вполне могло бы НЕудовлетворяться) - оно просто вытекает из других условий и хода решения. Точно так-же, как можно доказать на основе начальной задачи "теорему" о том, что самый быстрый едок в "последовательном" поедании тратит самое большее время и, конечно же, съедает самое большое количество (что сильно смущало Владимира, но тем не менее это именно так!). Но это НЕ является условием. А "подходы" ВООБЩЕ никак не относятся к решению задачи - в условии говорпится только о времени и объёме съеденного - не нужно вводить никаких излишних сущностей, дробить время на интервалы, "гонять" чуваков туда-сюда. Это не влияет на результат, как я уже говорил.

"и с неизменной для каждого отдельного едока скоростью, съесть половину торта" А вот это разумное уточнение - оно равноценно тому что в твоём условии задано словом "постоянной скоростью" - против такого уточнения я не возражаю. И, кстати, в принципе без этого условия задача не решается никак - ни твоя задача, ни начальная. Т.к. при условии непостоянства скорости нельзя составить формулу съеденный_объём=время*скорость_поедания.





Исправлено 1 раз(а). Последнее : Igor Korolyov, 14.05.10 17:50

Наверно все-таки здесь самое главное условие, как и было подмечено - что задача для 3 класса, а не 3 курса.
Т.е. изначально на серьезный взгляд должная выглядеть несколько "глуповато" и быть достаточно простой, какой и должна бы быть в любом случае. Ведь 9-10-летний ребенок при всем желании не может мыслить строго логически, его логика фрагментарна и хаотична по своей природе, что вполне естественно. Варианты же, пытающиеся использовать крохотную лазейку некоторой по сути бессмысленности задаваемого условия (ведь решение-то элементарно и вполне очевидно на поверхности и без него), думаю с трудом разрешимы даже не всяким выпускником, что уж говорить о 3 классе.
На мой взгляд, с точки зрения составителя задачи, приведенное им условие о скорости поедания - мыслилось им лишь единственно для того, чтобы немного запутать ученика и заставить его порешать дроби, а не сказать сразу же, что 4 человека съедят торт в 4 раза быстрее, чем 1.
Однако судя по всему ему удалось намного большее - запутать столько народа, не просто намного лучше разбирающегося в математике, чем все его мыслимые ученики, но даже намного-намного больше, чем и он сам.
Потому что если очень и очень внимательно перечитать еще и еще раз всю задачу и досконально подумать над ее словесными формулировками, все-таки достаточно очевидным становится, что варианты с переменной скоростью автором явно не предполагались.

Автором изначально предполагалось именно то решение, которое было предложено Юрием. Впрочем, в интернете эта задачка так-же имеется, и там рассказан правильный и весьма наглядный путь решения (именно для 3-го класса, да впрочем он и для старшего дошкольника вполне сгодится). Не нужно никаких уравнений и вообще нужно лишь буквально следовать условию и считать количество съеденного - за одним столом по очереди едят один торт, за вторым - "свободные едоки" в то же самое время едят точно такие-же торты. Для простоты (3-й класс!) считаем по самому простому - у каждого лишь одна попытка полакомится. В итоге и получаем, что за 4 раза на первом столе скушают 1 торт, а на втором ещё 2 - итого "непрерывным поеданием" 4 чувака съели ВСЕГО ровно 3 торта за то время, за которое на первом столе "последовательным поеданием" был съеден всего 1 торт... Всё! Задача решена - это я совсем для других целей уравнения составлял - меня заинтересовала "вытекающая" из "детской" совсем (как мне кажется) недетская задача - найти наиболее "справедливое" распределение скоростей поедания... Впрочем эти уравнения вполне могут применятся для проверки "детской" части задачи. И НИКАК не выходит ни 2 ни 4 - только 3...

Ну, вы блин дали! Почитал вчера топик, всю ночь торты снились, пришлось с утра сесть решать

Начнем с того, что в задаче действительно действует неявное предположение о постоянстве скорости отдельного едока при последовательном и параллельном поедании. Из чего оно следует? Из фразы "если бы ели его не поочереди, а вместе". Вот это "если бы" подразумевает "при прочих равных". Ну с этим вроде никто не спорил.

Тепрь давайте посмотрим, могут ли скорости едоков быть равными. Предположим, что это так:
Va=Vb=Vc=Vd=V. Обозначим буквами а, b, c, d количество торта, съеденное при последовательном поедании едоками A, B, C, D соответственно. Из условия задачи получаем, что время, которое потратил на еду игрок А равно времени, которое потребовалось B,C,D на поедание половины торта. Или: a/V = 1/2 / (V+V+V) или a/V = 1/6V. Поскольку, очевидно что V<>0, то a = 1/6. Т.е., А съел всего 1/6 часть торта при последовательном поедании.
Из соответсвующих равенств для других едоков получаем b=1/6, c=1/6, d=1/6. Ну, и находим сумму a+b+c+d = 4/6 = 2/3 <> 1 - получили противоречие с условием, что игроки съели весь торт. Следовательно, наше предположение о равенстве скоростей не подтвердилось. При этом, заметьте, мне не требовалось ничего знать о том, кто сколько раз подходил к торту - все на основании предположениея Crispy и условия задачи.
Об этом же говорил и Игорь, но видимо конец недели и я тоже не сразу понял, почему он сказал "2/3 и не крошкой больше". Надеюсь, приведенное доказательство убедит сторонников "равных скоростей", что они оказались не правы предполагая равенство скоростей всех участников торжества. ;)

Приведенное мной доказательство, вряд ли повторит третьеклассник. Но, оно вполне по силам школьнику, познакомившемуся с процессом доказательства "от противного", которое широко используется в началах геометрии.

Посмотрим на это глазами младшего школьника. В качестве подопытного был мой сын, ученик 2 го класса. У нас получился такой диалог:
я: "Представь, что тебе и 3-м твоим друзьям дали по одинаковому кусочку торта. Вы сели за стол и начали есть одновременно. Как ты думаешь, закончите вы есть тоже в одно время?"
сын: "А какой торт? Медовый?!"
я: "Неважно"
сын: "Ну, тогда нет, наверное"
я: "Почему?"
сын: "Все же по разному едят. Кто-то разговаривает, например. Или, если торт мне больше нравится, я его быстрее съем"

Т.е. предположение о том, что скорости разные, оказалось более естественным и простым (не требующим дополнительных рассуждений).

Теперь попробуем решить задачу аналитически.
Пусть a, b, c, d - количество торта, съеденного участником A, B, C, D соответственно. По условию, что они торт съели, понятно, что a+b+c+d = 1 (примем за единицу объем одного торта). Пусть каждый участник ел свой объем со скоростью Va, Vb, Vc, Vd тортов в мниуту.
При этом не важно, ели они "циклически" или по жеребьевке или может подходили в произвольном порядке и отъедали, сколько в рот влезет... Нас интересует только общий съеденный каждым участником объем и его средняя скорость. Понятно, что каждый из едоков потратил непосредственно на поедание торта a/Va, b/Vb, c/Vc, d/Vd минут соответственно.
Находим общее время последовательного поедания:


При совместном поедании скорости складываются и время для поедания одного торта понадобится:


Теперь условие. Первый ел столько времени, сколько понадобилось бы B, C, D чтобы сожрать половину торта:

аналогично, для трех других игроков получаем:

Подставляем a, b, c, d из (3a)-(3d) в (1) и получаем:


Теперь находим отношение времени последовательного поедания к времени совместного:


{подставляем вместо Тпосл выр. (4), умножаем числители на сумму скоростей и группируем в числителях некоторые слагаемые}

делим в каждой дроби числитель на знаменатель почленно:
замечаем, что "сложные" члены этого выражения в точности совпадают с выражениями для a, b, c, d из (3a-d), складываем 1/2 и получаем:


Т.е. Тпосл / Тсовм = 3. Или словами: времени на совместное поедание понадобилось бы в 3 раза меньше.



Исправлено 2 раз(а). Последнее : matod, 15.05.10 06:55

Ну, ладно, семиклассник, свободно владеющий дробями, умеющий упрощать выражения и использовать подстановку вполне справится с задачей. Осилит ли эту задачку "третьеклашка"?

Решение задачи с использованием дополнительных тортов несложно и понятно без дробей, преобразований и т.д., особенно с рисунком. Сложность представляет только сам переход от 1 к нескольким тортам. Я по крайней мере сразу сам не смог догадаться, пока не увидел решение от rubinov и не начал рисовать торты.
Но этот прием используется довольно часто (особенно в геометрии - дополнительные построения) и сам по себе ничего сложного не представляет. И если деткам показывали решение подобных задач с использованием этого приема, то они могут просто воспользоваться готовой методикой и решать "по аналогии", тем более, что в современной школе с "тестовым" подходом такая дрессировка довольно распространенное явление.



Исправлено 1 раз(а). Последнее : matod, 15.05.10 07:29

Цитата:

варианты с переменной скоростью автором явно не предполагались

Само собой

Раз пошли практические эксперименты, то я тоже решил проверить все на практике.
Задание из первого поста слово в слово показал младшей дочери (заканчивает 3-й класс). Решала полностью самостоятельно, я сразу сказал, чтобы с вопросами даже не подходила ни с какими. Первая реакция: непонятное совсем задание. Менее чем через минуту ответ: в 4 раза. Спрашиваю, как решала. Ее объяснение:
"Допустим, каждый ел по 1 минуте. Значит торт съели за 4 минуты. Если бы ели все вместе, то торт съели бы за 1 минуту."
Понимаю, что задача математически не решена, так как при таком рассуждении не выявлено несоответствие условиям задачи. Ответ чисто на житейской логике, без проверки условий задачи.
Спрашиваю на всякий случай: "Ели с одинаковой скоростью?" Уверенный ответ: "Да!" Начинаю уточнять детали насчет несоответствия условий. Реакция после некоторого количества подсчетов в уме: "Не буду решать - это сложная задача".
Жду из школы старшую. Проверим на пятом классе

Ну, вполне естественно что младший школьник будет пытаться упростить задачу Она просто отбросила все дополнительные условия, кроме того что "ели 4 человека по очереди"
Так что увы, но математика видимо не её конёк. Хотя эта задача весьма "конкретная" - в отличие от тех что будут в старших классах.

Точно так-же многим гражданам, не очень прилежно учившимся в школе, кажется вполне "очевидным" согласно той-же "жизненной логике", что если через систему труб разного диаметра прокачивать жидкость (или газ - это не столь важно) - то давление на стенку будет больше в "узких" трубах, где скорость "течения" велика, а не в "широких", где жидкость движется медленнее - тогда как на самом деле всё происходит с точностью до наоборот

Эксперимент со старшей закончился негативно. Первая реакция: "Я не понимаю условия задачи" (после нескольких прочтений). После настойчивых просьб попытаться разобраться самостоятельно и попыток решить (минут пять) - та же реакция "Я не понимаю условия, здесь не все данные", и дальше слезы... Продолжать не стал

Для некоторой объективности: у младшей средний балл 9,6 (10-балльная система); математика - 9 баллов; у старшей средний балл 9,3; математика - 10 баллов, первые два года в школе - развивающий класс (т.е. усиленная подготовка).

Поскольку на форуме было упоминание про решение задачи в интернете, решил поискать. По результатам поиска получаются все те же 2 варианта ответа с соотвествующей аргументацией, встречающиеся примерно в одинаковом количестве. Более того, часто встречается и третий вариант ответа: в 2 раза, причем тоже с разной аргументацией. Например, такой:
Каждый из 4 участников съел 1/4 торта по очереди, каждый потратил на это столько же времени, сколько и 3 одновременно поедающих половину торта участника. Если бы 4 участника ели торт одновременно, скорость каждого из них была бы такой же (= 3 участника 1/2 торта) т.е. они бы съели его пока 3 участника едят 1/2 торта, т.е. в 2 раза быстрее.
(Правда, в этом объяснении я никак не вижу вывод результата "2", но уже не удивлюсь, что другие все-таки его подтвердят).

Было даже замечание, что в условии сказано "трем другим едокам", а не "трем остальным едокам", и в расчет надо брать вообще посторонних едоков.

То есть, каждый понимает условие по-своему, и исходя из собственных допущений, решает задачу. При этом каждое представленное решение верное для собственного варианта прочтения условия. А из этого следует логический вывод о нечетко сформулированном задании. Это, безусловно, полезно для развития мышления ребенка, но недопустимо для постановки такой задачи (с несколькими вариантами ответа) в тест, подразумевающий только один правильный вариант ответа.
Как пример, выбросьте лишнее слово: СОЛНЦЕ, ВЕНЕРА, ЗЕМЛЯ, ЮПИТЕР. Любой будет правильным в зависимости от условия отбора. Солнце, потому что это звезда, а не планета; Венера, потому что в ней 2 буквы Е, а не одна; Земля, потому что в ней только 5 букв, а не 6; Юпитер, потому что он расположен во внешней части Солнечной системы (за главным поясом астероидов), а не во внутренней. И если такая задача вполне уместна на уроке с последующим детальным разбором ее решения, то при попадании такой задачи в тест с одним лишь "верным" вариантом ответа, составителя такого теста необходимо отстранять от должности.

... И еще понравилась фраза из одного форума с разбором задачи: "4 тоже правильно, но должно быть 3"



Исправлено 1 раз(а). Последнее : ry, 15.05.10 18:57

До кучи приведу свои рассуждения. Итак, ничего по условию не указывает, что скорость поедания торта РАЗНАЯ. Тогда, понятно, что пока трое съедают половину торта (при учете одинаковой скорости поедания), четвертый съест 1/6 (об этом я и многие другие говорили выше).

Теперь поставим 2 торта, один одновременно едят 4 человека, другой - ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНО по 1/6 те же 4 человека . Пока 1 человек за вторым столиком честно съедает 1/6 часть - за первым успевают съесть 4*(1/6)=4/6. Отсюда и вытекает правильный ответ в 4 раза, на что и указывали Mitchman и Crispy

Цитата:

Тепрь давайте посмотрим, могут ли скорости едоков быть равными.

Теоретически - вполне, а при должном репетировании - и на практике.

Цитата:

Ну, и находим сумму a+b+c+d = 4/6 = 2/3 <> 1

Андрей, побойся бога - зачем суммировать съеденный объем торта тремя едоками (1/2) и съеденную часть 1 едоком (1/6). Какой в этом смысл?

P.S. Как ни парадоксально, но задача, после упрощения звучит именно так - во сколько раз 4 человека съедят торт быстрее одного.





Исправлено 1 раз(а). Последнее : sphinx, 15.05.10 19:35

Александр, если принять версию "скорость у всех одинаковая", то дальше решать НЕЧЕГО - не нужно никаких более телодвижений, никаких 1/6 и прочего, т.к. СРАЗУ выходит ответ в 4 раза.
НО! если взяв это допущение проверить вторую часть условия, то мы тут-же получаем противоречие! Т.к. по условию пока первый кушал свою 1/4 торта, трое других кушающих с ТАКОЙ же скоростью умудрились съесть не 3/4 как должно было бы быть, а всего лишь 1/2! Всё - это доказательство ошибочности исходного предположения о равенстве скоростей - "от противного"...

2 ry Да, я с тобой совершенно согласен - мне потребовалось не менее 5-ти раз перечитать условие, чтобы понять суть задачи... А потом ещё немного побороть себя отказываясь сначала от мысли что у всех едоков скорости одинаковы, а потом, спасибо Леониду за оперативность! ещё отбросить закравшееся сомнение в том, что "в условии ошибка, так в реальном мире быть не может никогда"!
Что касается интернета - то естественно что есть масса людей "додумывающих" к условию то, чего в нём нет и в помине - и вполне естественно, что переформулировав условие (придумав какие-то "подходы", и подменив время поедания 1-м чуваком на время 1-го подхода) получаем СОВЕРШЕННО другую задачу. Более прямолинейный упрямец может по простому сказать "в условии ошибка - пока один кушает свою часть, трое других не половину торта съедают а 3/4 - это же всем очевидно(c)" - и с полным правом гордиться своим ВЕРНЫМ ответом "в 4 раза"
P.S. А тут ещё споры идут насчёт комиссии по борьбе со лженаукой В задача для 3-го класса здоровые лбы не могут по простому прочувствовать смысл и начинают "додумывать" или "изменять условия"