leonid

PaulWist
если вести расчет центра тяжести основания по гипотезе равенства масс в вершинах основания

Но вообще-то там сказано, что пирамида сделана из однородного материала, а это не то же самое, что масса сосредоточена в вершинах.

Честно говоря для прикидки "ломало" брать более сложный алгоритм нахождения центра тяжести основания

Ага! Вот еще одна скорее философская задачка!

Существует ли многогранник, такой, что на какую грань его не ставь он опрокинется?
Сайкл

Ага! Вот еще одна скорее философская задачка!

Существует ли многогранник, такой, что на какую грань его не ставь он опрокинется?
Майкл

По разному может быть!

1. Сохраняя перпендикулярность граней и основания можно продолжить основание вширь , обеспечивая устойчивость.
2. Или наоборот усечь основание и увеличить "стрелу" (по аналогии с подъемным краном) , чтоб пирамида опрокинулась.
Майкл

mayil
Ага! Вот еще одна скорее философская задачка!
Существует ли многогранник, такой, что на какую грань его не ставь он опрокинется?
Майкл

Получается, что многогранник будет переворачиваться бесконечное количество раз, вечный двигатель однако

Hi PaulWist!

Центр тяжести пирамиды расположен на отрезке, соединяющем вершину пирамиды с центром тяжести основания, на расстоянии 1/4 высоты пирамиды.
Так что всё зависит от конфигурации этой пирамиды - может и опрокидываться, а может и стоять.

А вечного двигателя нет ибыть не может!
Ты прав. Закрыли и эту задачу.
Пролжение следует.........

Майкл

Igor Korolyov
Hi PaulWist!
Центр тяжести пирамиды расположен на отрезке, соединяющем вершину пирамиды с центром тяжести основания, на расстоянии 1/4 высоты пирамиды.
Так что всё зависит от конфигурации этой пирамиды - может и опрокидываться, а может и стоять.

Игорь, замечательное замечание (я в курсе ), теперь найди центр тяжести основания и поймешь почему я выбрал гипотезу равенства масс в вершинах, затем найди проекцию центра тяжести пирамиды на плоскость X0Y при заданных Леонидом условиях и сделай вывод опрокинется или будет стоять.

Igor Korolyov
Центр тяжести пирамиды расположен на отрезке, соединяющем вершину пирамиды с центром тяжести основания, на расстоянии 1/4 высоты пирамиды.

Уточнение: "на расстоянии 1/4 высоты пирамиды от плоскости основания", или, что то же самое "на расстоянии 1/4 длины этого отрезка от центра тяжести основания".
Кстати, зная это, можно ответить на вопрос задачи, не вычисляя точно координаты центра тяжести основания, а только оценив их. Нетрудно понять, что координаты центра тяжести основания будут в точке (a,a), где 0.75<a<1, а, следовательно, проекция центра тяжести пирамиды будет в точке (b,b), где b=a*0.75>0.75*0.75>0.5, т.е. попадает в плоскость основания.

2mayil

Цитата:

А вечного двигателя нет ибыть не может!

А, собственно, почему?

Цитата:

Нетрудно понять, что координаты центра тяжести основания будут в точке (a,a), где 0.75<a<1,

Расширим оценку более точной цифрой a = 0.75*(2)**0.5 ~ 1.6, ну и дальше по тексту

PaulWist
a = 0.75*(2)**0.5 ~ 1.6

Да нет, координаты на корень умножать не надо. При значениях a из [0.5, 1] точка (a,a) попадает внутрь трапеции основания на ее ось симметрии. Центр тяжести будет располагаться на оси симметрии в нижней части трапеции (ниже средней линии), т.е. в промежутке (0.75,1).



Исправлено 1 раз(а). Последнее : leonid, 12.04.07 12:13

leonid

PaulWist
a = 0.75*(2)**0.5 ~ 1.6

Да нет, координаты на корень умножать не надо. При значениях a из [0.5, 1] точка (a,a) попадает внутрь трапеции основания на ее ось симметрии. Центр тяжести будет располагаться на оси симметрии в нижней части трапеции (ниже средней линии), т.е. в промежутке (0.75,1).

Ну, да. Умножение на корень из 2-х это и есть длина от точки начала координат 0,0,0 до центра тяжести основания, на которую затем надо опустить проекцию из центра тяжести пирамиды.

И затем решить сист. ур-ий:

y = x
y = 1 - x

что бы найти проекцию точки равновесия.

Вы бы лучше сказали, упадёт Пизанская башня или нет?

Вместо того что бы флудить, ты бы привел полное решение.

Кстати, а зачем ты вчера на Пиву плевал (говорил - тьфу на тебя, ещё раз )

Цитата:

Кстати, а зачем ты вчера на Пиву плевал (говорил - тьфу на тебя, ещё раз )

Патамучта не правильно это, плюнуть на человека два раза и не плюнуть третий.

А я думал вы тут гравитацию изучаете
"Если у вас кончились аргументы, не отчаевайтесь, в оппонента еще можно плюнуть"

И пнуть.

Hi PaulWist!

Во-первых в основании пирамиды вовсе не обязательно должна лежать трапеция Единственное важное условие - это перпендикулярность боковых граней. Например если построить пирамиду по точкам

1,0,0
5,0,0
0,2,0
0,1,0
0,0,2

то она будет удовлетворять обоим условиям задачи, но в её основании будет лежать совсем не трапеция

Ну да ладно, примем для простоты что в основании пирамиды лежит именно трапеция, причём равнобокая трапеция - и соответственно углы при основании (трапеции) равны 45 градусов (а вот это примем без доказательства )

Теперь идём дальше.

Насчёт гипотезы о "равных массах в вершинах" - хорошо, предположим что она верна - из этого следует. что для пирамиды с 4-угольным основанием (5 вершин) мы делим её массу на 5 равных частей и следовательно имеем в основании 4/5 массы и 1/5 в вершине - теперь возьмём 9-угольное основание - следуя той-же логике мы получаем что в её основании будет находится 9/10 массы... Таким образом твоя гипотеза приводит к абсурдным результатам и очевидно неверна. Это кстати подтверждает и тот (неверный) вывод к которому ты пришёл в отношении самой задачи об опрокидывании.

А то как ты начал считать координаты центра тяжести основания вообще меня поражает Начнём с того что 0.75*SQRT(2) ~ 1.06 а не 1.6 но даже 1.06 это УЖЕ даёт точку снаружи трапеции, причём в обратной стороне от того где будет находится проекция центра тяжести пирамиды! Как ты понимаешь, центр тяжести трапеции находится всё-таки внутри её границ

Оценка Леонида верна - указанная им пирамида не опрокинется. Однако интерес представляет более общее решение - при каких условиях произвольная пирамида такого типа (с основанием в виде равнобокой трапеции) будет устойчива. Что любопытно, устойчивость пирамиды построенной по таким правилам (даже с основанием отличным от трапеции) совсем не зависит от её высоты - а лишь от формы основания

И даже больше - для пирамиды с равнобокой трапецией в основании можно расширить оценку Леонида. Для простоты примем за "параметры" трапеции (и всей пирамиды тоже, т.к. высота не играет роли) координаты точек пересечения её оснований с осью x (они же будут и координатами пересечения с осью y, они же и свободные члены в уравнениях прямых на которых лежат основания трапеции - т.е. y=С-x). обозначим меньшее значение (соответствует "меньшему" основанию, более близкому к началу координат) через A, а большее соответственно B.
Тогда пирамида с параметрами B>5A/3 будет гарантированно устойчива, а пирамида с параметрами B<4A/3 гарантированно падает. Это соотношение имеет вполне прозрачный смысл - пирамида с относительно "тонким" основанием неустойчива.

2 mayil Относительно задачи об "опрокидывающемся многограннике". Существует понятие равновесия - т.е. по простому отсутствие движения, и понятие устойчивости. Грубо говоря, понятие устойчивости определяет что произойдёт, если свободное твёрдое тело, находящееся в положении равновесия, сместить из этого положения. Если тело вернётся в начальное положение - то его положение было устойчиво, если же тело продолжит движение (например тело находилось на вершине покатого холма, и его оттуда столкнули) - значит тело было неустойчиво. Однако есть и третий вид устойчивости - нейтральная устойчивость - это значит что после смещения тело останется в своём новом положении - например таково положение любого тела на идеально гладкой плоскости.
Рассматривается в механике и "устойчивость к опрокидыванию" - вполне очевидно, что любое тело можно опрокинуть - вопрос лишь в том на сколько его при этом нужно сместить из равновесного положения
При этом основное "правило поведения" тела - это стремление опустить свой центр тяжести как можно ниже - при наиболее низком (из возможных) положении центра тяжести и наступит "равновестие".
Так вот, если вернуться к нашим баранам - конечно не существует такого многогранника, который бы сам по себе опрокидывался бесконечно - т.к. для опрокидывания как минимум необходимо чтобы новое положение центра тяжести было ниже чем старое - а для твёрдого тела центр тяжести фиксирован и потому не может бесконечно "опускаться". Однако есть такие тела, которые могут бесконечно долго "опрокидываться", если к ним было приложено начальное усилие (которое и вывело тело из положения начального равновесия) - например шар (по сути это "правильный" многогранник с бесконечным числом граней), или цилиндр лежащий "на боку". В отсутсвие сил трения и при условии "идеальности" форм (как самого тела, так и плоскости на которой он находится), неизменности силы притяжения - по простому говоря ТЕОРЕТИЧЕСКИ - такие тела будут "опрокидываться" бесконечно долго

Igor Korolyov
Во-первых в основании пирамиды вовсе не обязательно должна лежать трапеция Единственное важное условие - это перпендикулярность боковых граней. Например если построить пирамиду по точкам
1,0,0
5,0,0
0,2,0
0,1,0
0,0,2

то она будет удовлетворять обоим условиям задачи, но в её основании будет лежать совсем не трапеция

Нет возражений , в своем решении я рассматривал пример Леонида с трапецией в основании forum.foxclub.ru

Igor Korolyov
Теперь идём дальше.
Насчёт гипотезы о "равных массах в вершинах" - хорошо, предположим что она верна - из этого следует. что для пирамиды с 4-угольным основанием (5 вершин) мы делим её массу на 5 равных частей и следовательно имеем в основании 4/5 массы и 1/5 в вершине - теперь возьмём 9-угольное основание - следуя той-же логике мы получаем что в её основании будет находится 9/10 массы... Таким образом твоя гипотеза приводит к абсурдным результатам и очевидно неверна. Это кстати подтверждает и тот (неверный) вывод к которому ты пришёл в отношении самой задачи об опрокидывании.

Э-э-э, брат здесь ты немного перегнул палку , я говорил о гипотезе "равных масс в вершинах" при вычислении центра масс ОСНОВАНИЯ, см. здесь forum.foxclub.ru и здесь forum.foxclub.ru, а не всей пирамиды, поэтому твои слова о 9/10 не комментирую

Igor Korolyov
А то как ты начал считать координаты центра тяжести основания вообще меня поражает

Попробую вернуть твоё воображение

Igor Korolyov
Начнём с того что 0.75*SQRT(2) ~ 1.06 а не 1.6 но даже 1.06 это УЖЕ даёт точку снаружи трапеции, причём в обратной стороне от того где будет находится проекция центра тяжести пирамиды! Как ты понимаешь, центр тяжести трапеции находится всё-таки внутри её границ

Ну да 0.75*SQRT(2) ~ 1.06, у всех бывают описки.

Теперь рассмотрим, что за цифра 1.06 - это ДЛИНА отрезка от начала координат 0,0,0 до точки центра тяжести (было здесь forum.foxclub.ru), те точки с координатами

0.75, 0, 0
0, 0.75, 0

и лежит на прямой описанной как y = x.

теперь выясним данная точка где лежит, внутри или снаружи основания пирамиды.

Для этого надо решить систему ур-ий

y = x
y = 1 - x
(Напомню, рассматриваем пример Леонида, второе ур-ие - это ур-ие на котором лежат точки пересечения со "стоячими" гранями, те

0,1,0
1,0,0 )

Сам понимаешь, решение системы дает точку с координатами

0.5, 0.5, 0

те отсюда можно сделать вывод, что эта точка является точкой равновесия (и абсолютная длина от начала координат 0.5*SQRT(2) ).

Igor Korolyov
Оценка Леонида верна - указанная им пирамида не опрокинется.

Ну вообщем-то с этим ни кто и не спорил

Igor Korolyov
Что любопытно, устойчивость пирамиды построенной по таким правилам (даже с основанием отличным от трапеции) совсем не зависит от её высоты - а лишь от формы основания

Чета вот это высказывание противоречит дальнейшим твоим рассуждениям.

Ну и действительно трапеции с одинаковым основанием, но разными высотами имеют разные координаты центра тяжести, поэтому от высоты устойчивость зависит, а вот критерий устойчивости от высоты действительно не зависит.

Igor Korolyov
Тогда пирамида с параметрами B>5A/3 будет гарантированно устойчива, а пирамида с параметрами B<4A/3 гарантированно падает.

Думаю, что не это является глобальным критерием устойчивости пирамиды, на мой взгляд пограничным критерием устойчивости является принадлежность высоты пирамиды одной из граней (что бы не было соблазна построить такую высоту, что бы её 1/4 попала за точку равновсия ) или же "наличие" высоты внутри пирамиды.

PS Э-э-э, пожалуй вот здесь я не прав, по здравому размышлению, да действительно твои выводы об устойчивости пирамиды в зависимости от размера основания верны.





Исправлено 1 раз(а). Последнее : PaulWist, 17.04.07 13:56

Igor Korolyov
Тогда пирамида с параметрами B>5A/3 будет гарантированно устойчива, а пирамида с параметрами B<4A/3 гарантированно падает.

У меня получилось, что пирамида падает, если B<A*(0.5+sqr(1.25))(если правильно помню, это - золотое сечение), а если больше, то не не падает. При равенстве - неустойчивое положение равновесия. Боюсь, только, объянить ход расуждений без рисунков не получится.