Добрый день, уважаемые форумчане!
Вчера вечером подкинули задачу, не могу понять, есть ли вообще у нее решение. Если есть, то с чего начинать? Если нет, то надо как-то по-простому объяснить начальству, что решение невозможно.
Итак, есть более 30 чисел, получаемых в виде уравнений следующего вида:
a1*x+b1*y+c1*z=n1
a2*x+b2*y+c2*z=n2
...
a30*x+b30*y+c30*z=n30
Коэффициенты ai, bi, ci - положительные целые числа или 0, они все известны, их менять нельзя.
Параметры x, y, z - положительные числа, их начальные значения известны. На самом деле параметров около десятка, но тут хотя бы принцип показать. Если это имеет значение, то параметров заведомо меньше, чем уравнений.
Соответственно, известны начальные суммы ni и общая сумма n1+n2+n3+...+n30=N.
Задача: изменяя значения параметров x, y, z, получить итоговую сумму K*N для известного K.
Это не так уж и сложно, но начальник просит найти решение, при котором не только общая сумма будет равна K*N, но и все частные суммы также будут равны K*ni.
Оказывается, я еще и задачу неправильно вчера понял.
Задача: найти другие значения параметров x, y, z, при которых и итоговая сумма N, и частные суммы ni будут такие же, как и при начальных значениях параметров.
Нутром чую, что при разных коэффициентах в уравнениях такое решение невозможно, но доказать не могу. А может, я ошибаюсь, и задачу можно решить, если не аналитически, то с помощью цифровых методов. Кто силен в математике, подскажите, где накопать решение или как грамотно объяснить, что его нет.



Исправлено 1 раз(а). Последнее : ry, 15.02.24 08:30

Можно тут спросить mathhelpplanet.com
и здесь dxdy.ru



Исправлено 1 раз(а). Последнее : alex;, 15.02.24 08:30

Спасибо, попробую

Сложите все 30 уравнений, получите одно
Ax + By + Cz = N
где A = a1 + a2 + ... + a30, и т.п.
Дальше, надеюсь, объяснять не надо.

То, что можно получать одинаковые значения итоговой суммы N при разных значениях x, y, z - это вроде понятно. Но как возможно ли при этом сохранить одинаковые значения промежуточных сумм n_i при неравенстве коэффициентов а_i?

Задача ставится таким образом

1. Есть система линейных уравнений
2. Как доказать, что решение только одно? Не может быть нескольких решений?

Для простоты, возьмем уравнение с 2 переменными

ax + by = n

Графически - это прямая линия на плоскости по координатам x,y. Соответственно, если таких уравнений много, то решением этой системы уравнений, также графически, является точка пересечения всех этих линий. Логично предположить, что такая точка пересечения может быть только одна ;)

Увеличение количества параметров - это лишь увеличение количества измерений. 2 параметра - плоскость (x,y), 3 параметра - объем (x,y,z). Б`ольшую мерность визуально представить сложно, но суть не меняется. Каждое уравнение - одна линия. Решение системы уравнений - точка пересечения всех этих линий. А она может быть только одна

Спасибо, это уже достаточно наглядно и понятно. Даже если уравнений больше, то будет не две, а множество прямых, пересекающихся в одной точке, которая и является единственным решением.

Если нужно, чтобы и промежуточные суммы совпадали, то все зависит от ранга матрицы, составленной из коэффициентов. Если он больше 2, то решение единственное.

ry
Нутром чую, что при разных коэффициентах в уравнениях такое решение невозможно

Насколько я помню, если кол-во переменных равно количеству уравнений, то есть единственное решение x, y, z ...

Если кол-во уравнений больше кол-ва переменных - это самый сложный вариант, надо решить какие уравнения выбросить (в мат. физике выбрасываются, обычно, те ур-ия, которые мало влияют на коэффициенты).

Само решение - это метод Гаусса (приведение матрицы к треугольному виду).

Уравнения выбросить не получится. Это практическая задача. Каждое уравнение - это расчет суммы контракта в месяц, контракт на три года или чуть меньше. Коэффициенты ai, bi, ... - это количество конкретных работ в месяц, они заданы заказчиком и не могут меняться. Параметры x, y, ... - это стоимость каждого вида работ. Она задается исполнителем, но не согласовывается с заказчиком. С заказчиком согласованы только суммы по месяцам ni и итоговая сумма контракта. Теперь начальник хочет пересмотреть стоимость работ (если более конкретно - то увеличить стоимость одного вида, не беспокоясь, что придется уменьшать остальные). Но при этом он не может менять уже утвержденные суммы контракта в месяц.
Начальник при этом убежден, что решение найти можно. Соответственно, надо либо решить задачу, либо доказать начальнику, что решения нет.



Исправлено 1 раз(а). Последнее : ry, 15.02.24 09:34

А почему тема раздвоилась? Или это только у меня так?

Вот чисто задача для ГПТ (ГПТ правда перебором не занимается в принципе, в процессе ответа, ... в процессе "обучения" - где-то "ждет ответов" на входные комбинации)

"Нутром чувствую", что задача простая, но из начальных условий текстовых надо построить мат. модель, и она будет линейной, а с линейными уравнениями никаких проблем нет уже давно (причем решения есть во всех линейных уравнения, кроме нерешаемых, возможно комплексны решения)

Мтк, автор вопроса может погрузиться в тему решений уравнений, и спросить не "а как же?!", почитать принципы решений, в ИЕ все есть
ру, скажи твои предположения решения

"Матрица" ты слышал этот термин?

> Коэффициенты ai, bi, ci - положительные целые числа или 0, они все известны, их менять нельзя.
задана матрица (коэффициентов) для i=1..30 ?

Трех мерная? ) 3-матрица?! Это в какой задаче?!



Исправлено 5 раз(а). Последнее : of63, 17.02.24 20:38

leonid вроде все однозначно сказал, если нужны детели - либо гуглить либо у него попытать. Сам я если честно все это прочно забыл

все мы забыли, как первый раз это было, и во второй )

Доб. Этих ребят жалко, в недостранах.

> однозначно сказал
y на любую сетенцию не верь, имей свое "мнение". С опытом, с обломами придет.
И умрешь дураком *без юмора). Дети что-то приподнимут, может, если... Пока приопускают )

Для Ру скажу - такие задачи решают задорого, а за бесплатно хоть мотивируй , задача прикольная



Исправлено 4 раз(а). Последнее : of63, 17.02.24 20:47

Да какое задорого, о чем ты Олег ... вот же ответ:

leonid
Если нужно, чтобы и промежуточные суммы совпадали, то все зависит от ранга матрицы, составленной из коэффициентов. Если он больше 2, то решение единственное.

не понял, равентсва метриц, одинакого ранга, ну да, и?!Реши проблу мальчтка

Доб. матрицы (числа) равны, когда условия их наблюдения, "формулы" их сравнивающие, дают одинаковый результат
Доб. Фантазия, геометрия- это "просто" "проекция" наблюдения... Но и в этом есть разборки, см. Минковский



Исправлено 2 раз(а). Последнее : of63, 17.02.24 22:27

Зачем смотреть Минковского? Это как-то приближает к решению?

Методом Гаусса (сведением к диагональной матрице) ?
www.mathprofi.ru - первое попавшееся

Почему нет решения? бывает есть, бывает нет. "Определитель" матрицы покажет, и сама постановка задачи - количество неизвестных и количество переменных, про решение в ккомплексных числах не помню, но они тоже не для всего. Бывает, что решения нет (дискриминант, определитель, равен нулю) мда...



Исправлено 1 раз(а). Последнее : of63, 20.02.24 22:38

Практическая необходимость в поиске второго решения на данный момент отпала, но теоретическая подготовка на будущее может пригодиться.
Контракты бывают на разные сроки (разное количество строк матрицы) и с разным количеством работ (столбцы матрицы). Одно решение в любом случае уже есть, так как оно задано начальными условиями. Нужно понять, есть ли второе решение. Как уже подсказали, проще всего определить ранг матрицы. Если он равен количеству параметров, то решение единственное. Если ранг меньше, то решений может быть сколько угодно. Но при этом надо следить за условием, чтобы все параметры в решении были положительными, а вот существует ли такое решение - это уже определить гораздо сложнее. Я пока не представляю, как. Не перебирать же все возможные варианты.
Ради интереса проверил на максимальной матрице, что удалось составить: 31 параметр-столбец, 38 месяцев-строк. Ранг оказался 19 (есть одинаковые и неизменяемые коэффициенты, есть, очевидно, пропорциональные и зависимые). То есть альтернативные решения могут существовать. Будут ли среди них со всеми положительными параметрами - неизвестно.

ry
Будут ли среди них со всеми положительными параметрами - неизвестно.

Конечно будут. Если 31 столбец, а ранг 19, то 12 параметров можно задать произвольно, а остальные 19 вычислить, решив систему линейных уравнений. Если 12 задаваемых параметров близки к тем, что что были уже известны, то и 19 тоже окажутся близки к тому, что было. Значит, если все 31 параметр были больше 0, то можно получить бесконечно много положительных решений.