1. Вот резина длиной L.
(M)муравей----------------------------------------------автомобиль(A)
2. С момента t=0 резину начинают растягивать со скоростью автомобиля A.
A >> M, где M – скорость муравья.
Таким образом длина резины становится ф-ией времени:
L(t) = L + A*t
Представим L(t) = K(t) * L, очевидно , что K(t) = 1 + A*t/L (проверьте подстановкой)
3. Все расстояния (между любыми точками) на резине растягиваются с коэффициентом K(t)
4. Возьмем малый промежуток времени dt, за него муравей проползет расстояниев локальной (нерастягивающейся) системе координат M*dt, однако за это же время пройденное расстояние увеличится в K(t) раз. За время t пройденное расстояние находим как интеграл:
S = ИНТЕГРАЛ( K(t)*M*dt ) в интервале t=0, t=t
Не очень понятное место, т.к. и РАНЕЕ пройденные участки тоже растягиваются, но далее будет видно, что и такой скорости покрытия расстояния хватит…
Введем обозначение для A/L = F (размерность частоты, поэтому F)
Итак, интеграл простой для:
K(t) * M * dt = (1+A*t/L) * M * dt = (1 +F*t) * M * dt
, первообразная:
M * (t + F * 1/2 * t^2)
, подставим пределы интегрирования 0 и t:
S = M * (t + F * 1/2 * t^2) – 0
Надеюсь ничего не напутал. Забыл уже первообразные )
5. Уже видно , что расстояние, проползенное муравьем, растет квадратично со временем, а длина резины растягивается линейно со временем. Так что есть надежда догнать, даже с заданной форой L
6. Когда, в момент t муравей проползет расстояние, равное длине резины на момент t, то вроде вот оно, время догона, хотя тоже надо подумать. Правильно ли учтено растяжение резины, но...
7. Итак длина резины от времени:
L(t) = L + A*t
Когда-то возможно сравнится с расстоянием, проползенным по резине для времени t:
S = M * (t + F * 1/2 * t^2)
Приравнивая получаем квадр. ур.:
M*F*1/2*t^2 + M*t – A*t – L = 0 или
M*F*t^2 + 2*t(M-A) –2* L = 0

D = b2-4ac = 4*(M-A)^2 + 8*M*F*L = 4*M^2 + 4A^2
учтем, что A>>M, тогда
SQRT(D) = 2A

t = -b +- SQRT(D) / 2a = (-2(M-A) +- 2A ) / 2*M*F
Один из корней >0, а именно
(-2M+4A) / 2MF
Опять учитывая малость M, а также F = A/L получаем:
4A / (2MA/L) = L * (4A / 2MA) = 2 * L/M
Обратите внимание: L/M – исходное расстояние поделить на скорость муравья – это время прохода муравья резины, если бы авто не двигалось. При движении авто, с любой большой скоростью время примерно удваивается.
8. Надо поискать еще решение… Оказывается, тяжело что-то реальное считать...