Задача такая.

Дано:

- нормальное распределение случайной величины (Гауссовское)
- мат. ожидание и значение распределения в мат ожидании

- точка по иксу и значение по игреку

Найти: дисперсию данного распределения





Исправлено 2 раз(а). Последнее : PaulWist, 17.06.10 12:39

PaulWist
Задача такая.
Дано:

- нормальное распределение случайной величины (Гауссовское)
- мат. ожидание и значение распределения в мат ожидании

- точка по иксу и значение по игреку

Найти: дисперсию данного распределения

А что это?
Насколько я помню, Гауссовское распределение определяется именно мат-ожиданием и диперсией.
Может я плохо помню.? Все равно прОсю пояснений.

на вскидку, единственного решения не выйдет, если известная точка не является точкой максимума. Т.к. мат ожидание задает смещение положения максимума "горба" функции плотности по оси х, а дисперсия - "ширину" горба. Т.е. если нарисовать несколько графиков с одинаковым мат. ожиданием, то получим узкие "пики" или пологие "холмы", которые будут иметь точки пересечения, а значит, решение не единтсвенное. Наверное, надо знать не одну, а две или более точек.

Возможно, я ошибаюсь, т.к. последний раз трогал эту тему очень давно и ничего не помню...

Данные в условии избыточны, достаточно знать "высоту" кривой Гаусса (Ym), т.е. значение распределения в мат.ожидании. Чем выше кривая Гаусса, тем она уже - т.к. площадь под ней всегда равна единице. Дисперсия (D) - параметр характеризующий "толщину" кривой.

В формулу распределения подставляем x=мю. мю - мат.ожидание, его величина, на самом деле, не важна:

Ym=1/sqrt(2*пи*D)*exp(-(мю-мю)^2/(2*D))

Получаем

Ym=1/sqrt(2*пи*D)*1

Отсюда

D=1/(2*пи*Ym^2)

Опа, я ожидал, что найти можно просто, но что так просто не ожидал.

Сенькс

Цитата:

Данные в условии избыточны

Скорее недостаточны Поскольку говорилось просто о точке (произвольной), принадлежащей графику.

С точкой максимума понятно. Но любопытно все же узнать, при каких условиях решается задача, если точка максимума неизвестна. По ощущениям, пары точек должно хватить. Так ли это на самом деле?

В общем случае пары точек должно хватить.
Казалось бы, неопределённость может возникнуть, если неизвестно как они располагаются относительно максимума - с одной стороны его, или по разные стороны.
И тогда, вроде бы, могут быть два решения.

Однако нужно учитывать, что нормальное распределение нормировано на единицу - т.е. площадь под ним всегда равна единице. И в большинстве случаев одно из решений можно отбросить.

Но всё же, при определённом взаимном расположении этих пар точек, ИМХО возможны два решения.

Ещё дисперсия вычисляется однозначно, если известно мат. ожидание и одна точка на функции Гаусса.

Цитата:

Казалось бы, неопределённость может возникнуть, если неизвестно как они располагаются относительно максимума - с одной стороны его, или по разные стороны

Нет, мы же в условиях первоначальной задачи остались, т.е. предполагаю, что мат ожидание известно. Соответственно, положение точек относительно максимума нам тоже известно.
Вот и интересно, как тогда будет находиться дисперсия. Можно ли написать такую же красивую формулу, как для точки максимума или только приближенными методами?

Не знаю как решить уравнение аналитически.