leonid
Так это не соответствует условиям задачи. Там сказано "К середине его главной диагонали".

вот я и говорю "что-то пропустил"





Исправлено 1 раз(а). Последнее : Foxtrot, 25.04.07 19:31

Давайте, посмотрим, как можно решать такие задачи, сначала на примере простой, трехмерной. В самом деле, представить плоскость, перпендикулярную главной диагонали, не так просто, а сечение еще труднее. Давайте, будем рассматривать множество плоскостей, перпендикулярных главной диагонали и пересекающих ее в разных точках. Сначала возьмем плоскость, пересекающую диагональ в ее начальной точке, т.е. в вершине куба. Естественно, сечение в данном случае будет состоять из одной единственной точки. Начнем сдвигать плоскость в сторону центра куба. При небольшом сдвиге плоскость будет пересекать три ребра, которые сходятся в данной вершине. Значит, в данном случае сечение будет – треугольник, а из соображений симметрии нетрудно понять, что этот треугольник будет равносторонним. Будем сдвигать плоскость дальше – треугольник при этом будет увеличиваться, и это будет продолжаться до тех пор, пока плоскость не достигнет окончания этих трех ребер. Опять-таки в силу симметрии все три ребра закончатся одновременно, и наступит момент, когда плоскость будет проходить через три вершины куба. Сечение в данном случае – все еще треугольник. Что произойдет, если сдвинуть плоскость еще немного? Три ребра уже закончились, но из каждой из трех вершин выходит еще по два ребра, Их-то плоскость и будет пересекать. В сечении теперь будет нечто, похожее на треугольник с «откусанными» уголками. Точнее говоря, это будет шестиугольник, у которого все углы равны 60 градусов, но при этом три стороны большие, а три – маленькие. Если начнем двигать плоскость дальше к центру куба, то маленькие стороны сечения будут увеличиваться, а большие – уменьшаться, и, наконец, настанет момент, когда маленькие стороны сравняются с большими. Шестиугольник станет правильным, и произойдет это именно в тот момент, когда плоскость будет проходить через середину главной диагонали. Это и есть искомое решение. Если продолжить двигать плоскость дальше, то все пойдет как бы в обратном порядке, пока плоскость не достигнет второго конца диагонали.
Этот метод вполне можно применить и для случая четырехмерного куба. Попробуйте, если не получится, через пару дней распишу.

Foxtrot!

Поделись опытом, как ты вставляешь в свои сообщения рисунки и цитаты!

Кстати в интере поиск показал, что задачу о 4-х мерном кубе народ давно уже закрыл.

Если попробовать применить к четырехмерному кубу метод, описанный для трехмерного, получим следующее. При небольшом сдвиге пространства, перпендикулярного главной диагонали, от вершины куба, это пространство будет пересекать четыре ребра, сходящиеся в данной вершине. Следовательно, в сечении будем иметь тело с четырмя вершинами, т.е. треугольную пирамиду, а в силу симметрии - тетраэдр. При дальнейшем сдвиге пространства в сторону центра куба тетраэдр будет увеличиваться, и это будет происходить, пока пространство не достигнет окончания этих четырех ребер. При дальнейшем сдвиге пространства получим тело, похожее на тетраэдр с "откусанными" вершинами. Это будет тело с восьмью гранями, четыре из которых будут представлять шестиугольники с тремя большими сторонами и тремя маленькими, а четыре будут представлять маленикие треугольнички. При дальнейшем сдвиге маленькие треугольники будут расти, а у шестиугольников будут расти маленькие стороны и уменьшаться большие. Потом маленькие стороны станут больше больших, а большие будут уменьшаться, уменьшатся, пока совсем не исчезнут. Именно в этот момент пространство достигнет центра гравной диагонали. Как теперь будет выглядеть наше тело? Оно будет состоять из восьми правильных треугольников, т.е. это будет октаэдр. Это и есть решение задачи. Кстати, в отличие от трехмерного случая, это пространство будет проходить через 6 вершин четырехмерного куба, а вершины октаэдра будут совпадать с этими 6 вершинами четырехмерного куба.

Другое решение. При движении сверху вниз по одномерной диагонали трехмерного куба двухмерной плоскостью мы в результате получаем двухмерную фигуру которая имеет столько одномерных ребер сколько имеет двухмерных граней куб (три, шесть).
При движении перпендикулярно трехмерным пространством по одномерной диагонали четырехмерного куба (бред, или неевклидова математика, фиг его знает я не математик) мы получим столько трехмерных ребер (двухмерных граней), сколько трехмерных граней имеет четырехмерный куб, так как логично предположить что что в конце концов, как и в случае с трехмерным кубом наше пространство пересечет их все. Осталось сосчитать количество трехмерных граней четырехмерного куба. Гранями четырехмерного куба служат восемь трехмерных кубов (вроде как). Так что вроде как действительно октаэдр.

Короче теорема .
При сечении n+1 мерного тела n мерным пространством, n мерное сечение максимально имеет столько n-1 мерных ребер, сколько n мерных граней имеет тело...

Требует доказательств и уточнений)

И все таки как может быть трехмерное пространство быть перпендикулярным одномерной линии?...)

Мое пространственное воображение подсказывает мне, что уже для пятимерного куба эта теорема неверна.



Исправлено 1 раз(а). Последнее : leonid, 27.03.11 13:07

Уточню, твое пространственное воображение подсказывает что у четырехмерного тела что получиться в результате сечения пентаракта четырехмерным пространством максимальное число трехмерных граней всегда будет меньше десяти?

Нихрена себе пространственное воображение!)). Тебе не скучно в этом плоском трехмерном мире?))

sergcastle
Уточню, твое пространственное воображение подсказывает что у четырехмерного тела что получиться в результате сечения пентаракта четырехмерным пространством максимальное число трехмерных граней всегда будет меньше десяти?

Нет, как раз наоборот.