В программе реализован показ страниц интернета с помощью простой функции:

Например:
GoUrl("https://www.youtube.com/?feature=youtu.be")

FUNC GoURL

lparameters tcURL

DECLARE INTEGER FindWindow IN WIN32API ;
STRING cNull,STRING cWinName

DECLARE INTEGER ShellExecute IN SHELL32.DLL ;
INTEGER nWinHandle,;
STRING cOperation,;
STRING cFileName,;
STRING cParameters,;
STRING cDirectory,;
INTEGER nShowWindow

RETURN ShellExecute(FindWindow(0,_screen.caption),;
"Open",tcUrl,"","",0)

Все работает, страница открывается, но проблема в том, что на некоторых компьютерах это не срабатывает. Просто ничего не открывается. Не могу найти закономерность. Думаю может это связано с настройками безопасности или антивирусом? Возможно есть другое решение как из программы открыть страницу в интернете.

Значит на этих машинах не настроен нормально браузер - он не перехватывает "ссылки" начинающиеся с http/https.
"Другие решения" будут ещё менее надёжны.

Он не перехватывает "ссылки" не только начинающиеся с http/https. но и незащищенные начинающиеся на www.
Это бывает на разных броузерах. В каком разделе броузеров "копать"?
Еще на некоторых машинах не срабатывает URLDownloadToFile при скачивании файлов с FTP. В чем может быть проблема?

Полный адрес не может начинаться с www - он должен начинаться с имени протокола.

По ссылке описано как свои протоколы в реестре прописывать, но штатные http и https там точно так же прописаны. Обычно это (регистрацию в реестре) делает установщик браузера, или тот или иной конфигуратор (в самом браузере "настройки" с пунктом типа "браузер по умолчанию", или в ОС - особенно в свежих. Например при помощи апплета Control Panel\Programs\Default Programs\Set Associations)
msdn.microsoft.com

IPUA
не срабатывает URLDownloadToFile при скачивании файлов с FTP

Например в прокси, или в хитрой авторизации на FTP сервере. Это сверх-простой способ скачивания файлов, там практически ничего нельзя настроить, поэтому для любой ситуации кроме самой простой (прямой доступ к серверу - никаких NAT/файерволов по пути, сам сервер без авторизации или с plaintext авторизацией прямо в URL) он может и не работать.

IPUA
Все работает, страница открывается, но проблема в том, что на некоторых компьютерах это не срабатывает. Просто ничего не открывается.

У меня бывало так, что страница не открывалась (визуально вообще ничего не происходило) в том случае, если браузер уже открыт на кокой-то странице. Ну то есть просто крестиком закрываешь браузер, ещё раз жмёшь «перейти на сайт» в программе – срабатывает. Причину я не искал, не было необходимости. Возможно, у тебя что-то подобное.

Можешь поискать в www.google.com