Читаю популярную книжку, про Гаусса, он занимался "простыми числами", их количеством в множестве, не превышающем некоторого числа. Интересная математика, Связана с простыми числами, простыми числами Ферма и другими, кстати, связано с алгоритмом шифрования RSA...

Вопрос:

Дзета-функция - это ряд (Дирихле, т.е. от 0 до бесконечности):
Это просто функция от S = сумма от N=1 до бесконечности от (1 / N^S)
Например, при S=2 - ряд сходится (имеет конечное значение), и при любых S>1 тоже (при S=1 не сходится, это в школе еще говорят).

Но пишут, и в популярных книжках, и в Вики, что при S=-2 эта дзета-функция =0, это т.н. (тривиальные нули) дзета-функции. Приводят также другие ИДЕНТИЧНЫЕ модификации выражения этой функции, через степени и пи, сложные, и говорят, что эта дзета(-2) == этот РЯД(S=-2) == СУММА(1/N^-2) == СУММА( N^2) равна НУЛЮ, (!) а ведь это явно расходящий ряд, сумма = бесконечность... Че-то я не понимаю уже не один день, ни трезвый ни пьяный, почему СУММА ряда (для S=-2) РАВНА 0 ? Кто в курсе про тривиальные нули?

ru.wikipedia.org

Доб. Про ряд Дирихле я погорячился, перепутал с рядом Маклорена, и еще кого-то... (я их не очень помню, но буду вспоминать Ряд Дирихле я еще не читал )

Математика - хорошая наука, абстрактные соображения (мечты), но когда надо, для дела, для физики, они уже есть! Например, Эейнштейн делал ОТО в скалярном виде (один параметр для вычисления всех свойств мира), но добрые люди (М.Гроссман) подсказали понятие тензора!



Исправлено 3 раз(а). Последнее : of63, 20.06.18 00:43

Написано же русским по-белому: ряд Дирихле определяет дзета-функцию на промежутке s>1. На промежутках меньше единицы дзета-функцию надо определять другими уравнениями.

Фишка в том, что Риман вывел функциональное уравнение дзета-функции. Теперь значение дзета-функции можно посчитать через гамма-функцию. А гамма-функция определена на всей плоскости комплексных чисел. Значит, можно посчитать значение дзета-функции и для отрицательных чисел в том числе. А вот тут всем стало интересно, потому как для высчитанных отрицательных значений s нарисовались забавные зависимости про тривиальные и нетривиальные нули.
Вообще Риман был любителем что-нибудь ляпнуть из разряда "а что если". И где-нибудь лет через сто кто-то другой радостно сообщает, как это можно использовать на практике.

pasha_usue
Вообще Риман был любителем что-нибудь ляпнуть из разряда "а что если".

Оффа тоже не промах!..

Simple777
Оффа тоже не промах!..

Я бы даже сказал - уверенно попадает!

pasha_usue
Написано же русским по-белому: ряд Дирихле определяет дзета-функцию на промежутке s>1. На промежутках меньше единицы дзета-функцию надо определять другими уравнениями.
Фишка в том, что Риман вывел функциональное уравнение дзета-функции. Теперь значение дзета-функции можно посчитать через гамма-функцию. А гамма-функция определена на всей плоскости комплексных чисел. Значит, можно посчитать значение дзета-функции и для отрицательных чисел в том числе. А вот тут всем стало интересно, потому как для высчитанных отрицательных значений s нарисовались забавные зависимости про тривиальные и нетривиальные нули.
Вообще Риман был любителем что-нибудь ляпнуть из разряда "а что если". И где-нибудь лет через сто кто-то другой радостно сообщает, как это можно использовать на практике.

Все же интуитивно не верится, что аналитическое продолжение "простого" ряда именно такое, с sin-усом:

дзета(s) = x * sin(пи*s) * Г(1-s) * дзета(1-s) тогда
дзета(-2) = x * sin(пи*-2) * Г(3) * дзета(3) равно 0, поскольку sin...
x - какой-то коэффициент


www.km.ru
ru.wikipedia.org

"не понятно ни хрена" Доб. Вот, напомнило:
[attachment 29642 ]



Исправлено 1 раз(а). Последнее : of63, 04.07.18 10:32